COORDENADAS RECTANGULARES.
El plano cartesiano tiene dos ejes perpendiculares (eje x o eje de las abscisas y eje y o eje de las oredenadas), los cuales en donde se cortan forman un angulo de 90°, por ser perpendiculares y a su punto de interseccion se lo conoce como origen del plano. Los dos ejes dividen al plano de cuatro regiones llamadas cuadrantes.x,y), llamada pareja ordenada debido a que por ejemplo (2,3) ≠ (3,2). Asi, cada punto está determinado por sus coordenadas (x,y) en donde x es llamada abscisa y y la ordenada del punto. Asi pues, el punto P(2,5) se encuentra en donde el valor de las abscisas es 2 y el de las ordenada 5.
COORDENADAS POLARES
En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distancia. Para medir el ángulo necesitamos los siguientes elementos de referencia: un punto fijo llamado polo y denotado con la letra O y una semirrecta dirigida que parte del origen, llamada eje polar y denotada con la letra e, como se muestra en la figura r. Para medir el ángulo necesitamos los siguientes elementos de referencia: un punto fijo llamado polo y denotado con la letra O y una semirrecta dirigida que parte del origen, llamada eje polar y denotada con la letra e, como se muestra en la figura r.
A la distancia dirigida del polo al punto P(r,θ) se le llama radio vector del punto y al ángulo θ ángulo polar, o bien argumento. }
A continuación te mostramos la gráfica de tres puntos en el eje polar: A(3,60º), B(2,π) y C(225º,4). Analiza cuidadosamente su gráfica e intenta comprender la manera en que se gráfica cualquier punto P(r,θ) de esas características.
También es posible que el radio vector sea negativo, al igual que el ángulo polar. Observa cuidadosamente la gráfica de los puntos: A(-3,60º). B(-2,30º), C(4,-45º). D(4,-150º).
De lo anterior podemos concluir que:
a) Si r es positiva y θ positiva, entonces se traza el radio vector, de magnitud r, a partir del polo y con el ángulo polar dado, quedando así ubicado el punto (r,θ). Si r es negativa y θ positiva, el radio vector se traza en sentido contrario a lo que se hace cuando r es positiva. A continuación te mostramos un dibujo donde se representa lo escrito.
b) Como pudiste observar, si el ángulo θ es positivo, se mide a partir del eje polar en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y en el sentido de las manecillas del reloj cuando es negativo, como muestra a continuación. En ambos casos hemos supuesto que el radio vector es positivo.
El argumento se puede medir o dar en medidas angulares, grados, o en medidas circulares, radianes.
Es conveniente poder transformar las representaciones gráficas del plano cartesiano al polar, del polar al cartesiano, así como las representaciones algebraicas asociadas a cada una de ellas. En muchas ocasiones el hacer esto permite resolver más fácilmente el problema que se este tratando.
¿Qué coordenadas le corresponderán al punto (3,60°) del plano polar en el plano cartesiano?
Para contestar la pregunta dibujaremos el punto en un plano en el cual se encuentren las dos representaciones superpuestas.
En el plano cartesiano los valores correspondientes a la absisa y la ordenada los podremos encontrar utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno como sigue:
¿Qué coordenadas le corresponderán al punto (3,60°) del plano polar en el plano cartesiano?
Para contestar la pregunta dibujaremos el punto en un plano en el cual se encuentren las dos representaciones superpuestas.
En el plano cartesiano los valores correspondientes a la absisa y la ordenada los podremos encontrar utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno como sigue:
Así pues, el punto (3,60°) del plano polar se transforma en el punto (3cos60°,3sen60°) del plano cartesiano.
Ahora bien, ¿y el punto (4,5) del plano cartesiano cómo quedará representado en el plano polar? Sigamos un procedimiento análogo. Dibujemos el punto en una gráfica en donde subsistan los dos planos.
En este caso, nuestro problema es encontrar los valores del radio vector y del ángulo polar correspondientes al punto (4,5) en el plano cartesiano. ¿Cómo determinaremos el valor de r? Claro, utilizando el teorema de Pitágoras. Y el valor de θ? Utilizando la función trigonométrica tangente.
Pasemos a hacerlo:
